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本文发表在《数学通报》2016年第8期

阅读提示：笔者在教学实践中逐渐体悟到，研读教材是提升数学和教学双重专业素养的好办法.章建跃先生指出，教师最基本且重要的职责是教好课本，而“教课本”的核心是“教概念”．因此，善于抓住蕴藏在教材中的核心概念和思想等迁移能力强的知识，是教师研读教材的重中之重.本文以沪教版高中数学教材中“有向度量”概念的研读为例，谈谈如何立足教材理解概念，提升数学和教学双重专业素养，促进教师自身的专业成长.

文/任念兵 汪健（华东师范大学第二附属中学 201203）

“理解数学、理解学生、理解教学”是教师专业化发展的基石，是数学教学质量的根本保证，其中“理解数学”是首要的，是实现数学育人的根基[1].关于“理解数学”，笔者认为这既包括“深谙”数学学科的本体性知识，具有扎实的解题功底，对数学内容所反映的理性精神有较深入的体会和理解；又包括清楚数学知识的来龙去脉，善于区分体现核心概念和思想方法的本原性问题与无关数学本质的“细枝末节”的问题，具备将数学知识的学术形态转化为利于学生理解和消化的教育形态的能力和“技术”.

笔者在教学实践中逐渐体悟到，研读教材是提升数学和教学双重专业素养的好办法.章建跃先生指出，教师最基本且重要的职责是教好课本，而“教课本”的核心是“教概念”[2]．因此，善于抓住蕴藏在教材中的核心概念和思想等迁移能力强的知识，是教师研读教材的重中之重.本文以沪教版高中数学教材中“有向度量”概念的研读为例，谈谈如何立足教材理解概念，提升数学和教学双重专业素养，促进教师自身的专业成长.

1 立足教材 梳理概念内容

所谓“有向度量”是指带有方向的度量，研究既有二值（正、负）有向性又有可加性的几何量，包括一维空间的有向距离、二维空间的有向面积和三维空间的有向体积.各种有向度量的概念散见于沪教版高中数学教材中的三角、向量、解析几何、立体几何等主干内容中.

关于“有向距离”，沪教版教材在三角比、平面向量、直线的方程等内容中都有所涉及.为了介绍三角函数线，教材中引入“有向线段”.

关于“有向面积”，沪教版教材在矩阵与行列式中以例、习题[4]的形式给出了三角形的有向面积.

关于“有向体积”，教材中并没有专门列出，可以类比上述行列式表示的“有向面积”得到四面体的有向体积.

沪教版教材呈现“有向度量”的形式是多样的：直接给出“有向线段”的概念，以公式形式呈现点到直线的“有向距离”、三角形的“有向面积”，以不言自明地内蕴形式呈现“有向角”等等.梳理教材中与“有向度量”概念相关的具体内容，是研读教材把握概念的起点和依归.善于整合散见于教材各章节中的相关概念内容，发现这些概念的共性——有向，是教师“理解数学”能力的重要体现.

2 理解数学 揭示概念内涵

众所周知，数学研究的首要步骤是表述研究对象，倘若站在高观点上看初等数学问题，便能统一表述形式，明晰对象本质.此类例子在数学中俯仰皆拾，有向性也是其中之一.

有向角与有向面积、有向距离与有向体积之间的联系从一个侧面说明，教师要理解数学，就应该努力研读教材，揭示概念的内涵，从更高的层面上解读概念之间的联系.唯有如此，对教学内容的认识才能产生质的飞跃.

3 优化教学挖掘概念价值

将数学知识的学术形态转化为利于学生理解和消化的教育形态，是教师“理解数学”的重要体现.具有数学和教学双重专业素养的教师，善于充分挖掘概念的教学价值，展示数学知识和方法的内在魅力，打通核心概念和数学思想方法的“任督二脉”；善于揭示数学知识所蕴涵的科学研究方法和理性思维过程，整合学生已有的知识储备，指导学生学会思考学会研究.

理解“有向度量”概念的本质，有助于优化数学内容结构，尤其对于一些有关几何度量的问题，可以开拓新的思路，帮助学生深入理解问题本质.

理解“有向度量”概念，还可以提出新问题、得到新结论，站在更高的观点认识相应的几何问题的实质.比如，我们知道，判断直线与圆的位置关系可以用圆心到直线的距离进行判别，那么直线与椭圆的位置关系有类似的判别方法吗？利用点到直线的有向距离，可以将两者统一起来.

综上所述，通过研读教材中蕴藏的核心概念来理解数学，首先需要梳理教材中相关概念的内容，把概念背后的数学思想方法、思维策略方法显性化、明朗化；其次是揭示概念内涵，把握概念的要点和本质，厘清相关概念之间的联系与结构；最后是充分挖掘概念的教学价值，把握概念的学科意义与方法.

数学教师的教学水平的高低，首当其冲地体现在对教学内容的把握上.高水平的教师，在教教材显性知识的同时，能挖掘出其背后的隐性知识，教到一些别人教不出来的内容.这些不易教到的隐性知识，就是数学的本质[6]，而这就要求教师深入研读教材.教师只有在通透理解学科知识的基础之上，才能顿悟贯穿其中的数学思想方法，继而从整体上把握高中数学、优化教学内容结构，有效提升自身的数学和教学双重专业素养.只有立足教材理解数学，才能优化教学促进教师自身的专业成长.

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